相容可观测量
在量子信息初探 - 态, 测量与信道 中, 我们提到, 最一般的可观测量的表达是 \begin{equation} \ev{f}_M = \sum_k \braket{E_k}{\rho}_M f_M(E_k) \ . \end{equation} 也即是说, 可观测量的值可能受到测量的选择的影响. 对于任意一组测量 $M$, 实际上所有的函数 $f_M$, 乃至它的任意阶指数 $f_M^n$ 都是每一个 $E_k$ 的特征函数 \begin{equation} a_{k,M}(E_i) = \left\{\matrix{1\quad\text{if}\quad i = k \ ; \\ 0\quad \text{if}\quad i\neq k \ ;}\right. \end{equation} 的线性组合. 也就是说, 这组 $\ev{a_k}_M$ 记录了所有可能的可观测量的信息. 因此, 在接下来的讨论中, 我们只需要关注特征函数, 而非一般的可观测量.
然而, 仅仅考虑一组测量无法为我们提供任何区分经典系统与量子系统的判据. 因此, 我们必须要考虑多组测量上的可观测量相互之间的关系. 更具体的说, 对于两个测量 $M_1, M_2$, 以及 $M_1$ 上的可观测量 $f_{M_1}$ 与 $M_2$ 上的可观测量 $f_{M_2}$, 如果对所有态 $\rho$, 他们的分布是一致的, 则我们说这两个可观测量是不可区分的. 对于特征函数而言, 显然 $a_{k,M}^n = a_{k,M}$, 因此只要 $\ev{a_k}_{M_1} = \ev{a_l}_{M_2}$, 它们便是不可区分的.
相容可观测量
对于 $M_1$ 上的可观测量 $f_{M_1}$ 与 $M_2$ 上的可观测量 $f_{M_2}$, 如果存在一个测量 $M_3$, 以及 $M_3$ 上的可观测量 $f^a_{M_3}$ 与 $f^b_{M_3}$ 使得
- $f_{M_1}$ 与 $f^a_{M_3}$ 不可区分
- $f_{M_2}$ 与 $f^b_{M_3}$ 不可区分
则我们说 $f_{M_1}$ 与 $f_{M_2}$ 是相容的.
要注意的是, 相容可观测量目前并没有公认的权威定义. 在一些复杂的条件下, 不同的定义可能产生不同的物理解释. 但是在这里, 这些细微的差别不影响下面的讨论.
语境
语境 (context) 是互文中的核心概念. 所谓的互文便是指可观测量是上下文相关的, 或者说语境相关的. 一个语境，被定义为一组相容的可观测量. 注意, 因为在语境中所有的可观测量都是相容的, 所以一定存在一个测量 $M$ 使得它们可以被同时定义.
现在我们只考虑特征函数 $a_{k,c}$, 其中我们用语境 $c$ 替代了关于测量的下标 $M$. 特征函数满足如下性质：
- 对于每一次测量, 它的结果只会取 $0$ 或者 $1$.
有意思的是, 对两个特征函数取逻辑”亦或”的操作 $b_{c} = a_{1,c} \oplus a_{2,c}$, 结果还是一个特征函数. 一个更常见的写法是把特征函数定义为 $(-1)^{a_{k,c}}$, 则 $(-1)^{b_{c}} = (-1)^{a_{1,c}}(-1)^{a_{2,c}}$, 也就是两个特征函数的乘积. 对于特征函数而言, 这两种定义是一一对应的. 我们把所有的 $v_c = \prod_{k\in c} (-1)^{a_{k,c}}$ 定义为这个语境的特征数.
非互文可观测量
显然, 如果可观测量是与语境无关的, 那么如果可观测量 $a_{k,c}$ 同时处于 $c$ 与 $c_1$ 中, 它的值与下标 $c$ 无关.
如果 $c = c_1 \sqcup c_2$, 即 $c$ 包含的可观测量分别属于另两个语境 $c_1$ 与 $c_2$, 则
\begin{equation}\label{eq:noncontextuality}
\begin{aligned}
v_c &= \prod_{k\in c} (-1)^{a_{k,c}} \\
&= \prod_{k\in c_1} (-1)^{a_{k,c}}\prod_{k\in c_2} (-1)^{a_{k,c}} \\
&= \prod_{k\in c_1} (-1)^{a_{k,c_1}}\prod_{k\in c_2} (-1)^{a_{k,c_2}} \\
&= v_{c_1} v_{c_2} \ .
\end{aligned}
\end{equation}
正是语境间如上的关系给出了量子互文性的种类繁多的证明方案.
非互文系统的限制
我们假设一个系统是非互文的, 也就是说, 它上面的所有的语境的特征数都满足 \eqref{eq:noncontextuality}. 那么很显然, 这样的系统并不能用于描述所有的可观测量之间的关系. 一个简单的例子如下
这张图上定义了 $18$ 个节点, 每一个节点代表了一个可观测量 (特征函数). 我们规定, 每一条直线, 或者椭圆上连接的 $4$ 个可观测量构成一个语境, 共 $9$ 个. 同时, 我们设每个语境的特征数恒为 $-1$. 此时, 如果 \eqref{eq:noncontextuality} 成立, 那么所有特征数的乘积可以分解成所有节点的特征数的乘积.
- 由于语境有奇数个, 那么所有语境的特征数的乘积 $\prod_i v_{c_i} = \prod_i \prod_{k\in c_i} (-1)^a_{k} = -1$.
- 然而每个节点都出现在了两个语境中，显然这个总的乘积为 $+1$.
也就是说, 满足如上性质的系统必然是互文的. 然而在 $4$ 维量子系统中, 我们可以给每个节点指定一个如图所示的向量 $\ket{\psi}$ (需要归一化). 而可观测量被定义为算子 $\id - 2 \ketbra{\psi}$. 我们可以看到, 图中每一个语境的 $4$ 个可观测量都是对易的, 也即可以被同时测量. 并且每一次测量, 结果只有其中一个可观测量为 $-1$, 另三个为 $-1$, 即满足了我们所有的条件. 由此可知, 量子系统必然是一个互文系统.