• 资源理论

量子资源理论, 或者叫广义资源理论, 是一个关于度量物质状态与演化过程价值的课题. 一般我们直接简称为资源理论, 因为不同于量子计算, 量子通信, 量子算法等方向, 量子资源理论并没有经典对应. 事实上资源理论讨论的基本上是近二十年才出现的内容, 其使用的基本数学工具出现时间也不到 50 年.

对资源最简单的理解当属热力学第二定律了. 热力学第二定律告诉我们, 有一些能量是更有序的, 有一些能量是无序的. 对于同样的能差, 机械能可以被完全的提取出来, 但是热能有提取比例的极限, 也就是卡诺热机. 这就是说, 有一些状态比另一些状态更有价值, 而度量这些价值的大小是非常重要的工作. 比如说, 我们当然想知道, 我们最多能从地球的煤炭储量中提取出多少能量. 首先我们要列出我们有什么资源:

我们有宇宙这个大冷库, 可以无限制的向宇宙辐射能量. 同时我们有太阳这个大热库. 地球上的温度就是冷与热制衡的结果. 在这个平衡态上, 我们可以任意的获得室温的热态. 这样的态我们说它是免费的, 也可以叫自由态 (free state), 即可以被自由获取的.

同时我们有火源可以点燃煤炭, 有锅炉可以提取热量来烧水. 在给定这些可用的资源之后, 我们能提取出的能量的极限就被确定了. 煤炭这样的固定物质就被叫做静态资源, 可被提取资源的状态就叫做资源态.

另一方面, 如果我们没有锅炉, 仅靠露天烧火, 显然大部分的热能都未被利用就耗散到大气中去了. 缺少锅炉我们可从煤炭中提取的能量就减少了. 因此锅炉也是一种资源, 我们可以进行烧锅炉这种行为就叫做动态资源.

资源理论

资源理论的目标在于

1. 给定一个实验条件, 我们想知道我们理论上能做什么. 比如给定一个量子计算机, 我们知道它所有的基本操作, 我们想知道它能力的边界在哪里.
2. 度量资源含量的大小. 判断一个状态是变化成另一个状态需要消耗多少资源.
3. 对于一个给定的现象, 哪些资源是必须的. 比如 Bell 实验的结果告诉我们, 纠缠资源是必须的. 也就是物理理论里必然要有纠缠现象.
4. 从更高, 更抽象的角度看物理现象, 以期发现新的结构.

在上一章量子信息初探 - 态, 测量与信道中说到, 物理中所有的概念都可以分成三类:

1. 态: 复 Hilbert 空间上的单位迹半正定算子 $\rho$, 或者叫密度算子.
2. 过程: 复 Hilbert 空间的算子空间上的 CPTP 超算子 $\Phi$, 或者叫量子信道.
3. 测量: 满足 $\int \dd{E} E = \mathbb{I}$ 的半正定算子合集 $M$.

其中实验测量的结果统计由概率分布 $\mathbb{P}(E_k\vert\rho,M) = \braket{E_k}{\rho} = \tr(\rho E_k)$ 给出.

就像我上一章说的, 在物理中我们关心的事实上是物理过程. 源与测量其实都是验证我们理论的工具. 在资源理论中我们并不讨论测量的细节, 比如测量后的态是什么.

1. 为了定义态与过程, 我们首先考虑我们基础 Hilbert 空间 $\hilb$. 为了简单起见, 这里我们直接把它看作 $n$ 维复欧几里得空间 $\complex^n$.
2. 态 $\rho\in\hilb$ 是 Hilbert 空间上的密度算子. $\hilb$ 上所有密度算子的集合记作 $\mathcal{S}(\hilb)$, 它是有界算子空间 $\bdOp(\hilb)$ 的一个子集. 我们把所有 Hilbert 空间上的密度算子集合记作 $\mathcal{S}$.
3. 量子信道 $\Phi: \bdOp(\hilb_{in})\to \bdOp(\hilb_{out})$ 是所有的 CPTP 超算子. 由于我们在讨论具体问题的时候经常放松 CPTP 的要求, 我们不为量子信道专门分配一个符号. 但是我们把两个空间中所有可能的超算子记为 $\bdOp(\hilb_{in}, \hilb_{out})$. 所有超算子记为 $\bdOp$. 有界算子与超算子共用符号的原因是这两类空间有 Choi-Jamiołkowski 同构.

资源理论是由一对集合 $(\mathcal{F},\mathcal{O})$ 定义的. 其中 $\mathcal{F} \subseteq \mathcal{S}$ 为自由态, 也就是我们可以任意制备的物理态. 与量子态相比, 经典态总是更容易制备的, 我们一般把经典状态当作免费的. $\mathcal{O}\subseteq\bdOp$ 为自由操作, 即所有我们可以自由使用的操作. $\mathcal{F}(\hilb), \mathcal{O}(\hilb_{in},\hilb_{out})$ 为定义在对应空间上的自由态与自由操作. 对于资源理论, 我们只有三条限制:

1. $\forall \Phi\in\mathcal{O}(\hilb_A,\hilb_B), \Lambda\in\mathcal{O}(\hilb_B,\hilb_C)$, 我们要求 $\Lambda\circ\Phi\in\mathcal{O}(\hilb_A,\hilb_C)$.
2. $\text{id}\in\mathcal{O}(\hilb,\hilb)$.
3. $\forall\rho\in\mathcal{F}(\hilb_{in}), \Phi\in\mathcal{O}(\hilb_{in},\hilb_{out})$, 我们要求 $\Phi(\rho)\in\mathcal{F}(\hilb_{out})$.

注意: $\complex$ 本身也是一个 Hilbert 空间, 而 $1$ 是 $\complex$ 上面唯一合法的密度算子. $\mathcal{O}(\complex,\hilb)$ 根据定义等价于所有使得 $\rho\in\mathcal{F}(\hilb)$ 的超算子 $\Phi(1)\to\rho$ 的集合. 也就是自由态其实本质上也是一个自由操作. 而这类操作在量子信息中叫做态制备操作, 因为显然这个操作就是确定地制备一个态 $\rho$. 换言之, $\mathcal{F}$ 本身是 $\mathcal{O}$ 的一个子集. 从更抽象的角度来看, 一个资源理论是由 $\mathcal{O}$ 确定的.

资源理论的复杂性在于, 我们所有的自由算子都是根据物理限制得出的, 通常它们在数学结构上面非常丑陋. 比如 LOCC 导出的纠缠资源理论中, 判断哪些态是可分的本身是一个 NP-hard 问题, 而我们至今无法得到能被接受的判断方法.